12-20 22:51:02 浏览次数:853次 栏目：初三数学辅导
初三数学切线长定理例题解析
（直线与圆的位置关系）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【证明】∵ PA ， PB 与⊙ O 相切，点 A ， B 是切点，∴ OA ⊥ PA ， OB ⊥ PB 即∠ OAP= ∠ OBP=90 °，∵ OA=OB ， OP=OP ，∴ Rt △ AOP ≌ Rt △ BOP(HL) ，∴ PA = PB ，∠ OPA= ∠ OPB 。
切线 6 个性质：
1 、切线和圆只有一个公共点；
2 、切线和圆心的距离等于圆的半径；
3 、切线垂直于过切点的半径；
4 、经过圆心垂直于切线的直线必过切点；
5 、经过切点垂直于切线的直线必过圆心。
6 、从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
【内切圆计算练习题】
1 、一个三角形有且只有一个内切圆；
2 、一个圆有无数个外切三角形；
3 、三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点；
4 、三角形的内心到三角形三边的距离相等。
【例 1 】 △ ABC 的内切圆⊙ O 与 BC 、 CA 、 AB 分别相切于点 D 、 E 、 F ，且 AB=225px ， BC=350px ， CA=325px ，求 AF 、 BD 、 CE 的长 .
【解答】∵⊙ O 与△ ABC 的三边都相切，∴ AF ＝ AE，BD ＝ BF，CE ＝ CD ，设 AF=x ， BD=y ， CE ＝ z ，则 x ＋ y ＝ 9 ， y ＋ z ＝ 14 ， x ＋ z ＝ 13 ，解得 x=4 ， y=5 ， z=9 。
【例 2 】 △ ABC 的内切圆的半径为 r ，△ ABC 的周长为 l ，求△ ABC 的面积 S.
【解答】设△ ABC 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，连结 OA 、 OB 、 OC 、 OD 、 OE 、 OF ，则 OD ⊥ AB ， OE ⊥ BC ， OF ⊥ AC 。∴ S △ ABC ＝ S △ AOB ＋ S △ BOC ＋ S △ AOC ＝ (AB · OD)/2 ＋ (BC · OE)/2 ＋ (AC · OF)/2=(l · r)/2 ，设△ ABC 的三边为 a 、 b 、 c ，面积为 S ，则△ ABC 的内切圆的半径 r ＝ 2S/( a+b+c ) 。
【例 3 】 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90 °， BC ＝ a ， AC ＝ b ， AB ＝ c ，⊙ O 为 Rt △ ABC 的内切圆。 求： Rt △ ABC 的内切圆的半径 r.
【解答】设 Rt △ ABC 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，连结 OD 、 OE 、 OF 则 OA ⊥ AC ， OE ⊥ BC ， OF ⊥ AB 。∵⊙ O 与 Rt △ ABC 的三边都相切，∴ AD ＝ AF ， BE ＝ BF ， CE ＝ CD ，设 AD= x ， BE= y ， CE ＝ r ，则有 x ＋ r ＝ b ， y ＋ r ＝ a ， x ＋ y ＝ c ，解得 r=( a+b-c )/2 或 r= ab /( a+b+c ) 。
【例 4 】 Rt △ ABC 中，∠ C ＝ 90 ° ，BC ＝ 3，AC ＝ 4， ⊙ O 为 Rt △ ABC 的内切圆 . （ 1 ）求 Rt △ ABC 的内切圆的半径；（ 2 ）若移动点 O 的位置，使⊙ O 保持与△ ABC 的边 AC 、 BC 都相切，求⊙ O 的半径 r 的取值范围。
【解答】（ 1 ）设 Rt △ ABC 的内切圆与三边相切于 D 、 E 、 F ，连结 OD 、 OE 、 OF 则 OA ⊥ AC ， OE ⊥ BC ， OF ⊥ AB 。在 Rt △ ABC 中， BC ＝ 3，AC ＝ 4， ∴ AB ＝ 5 ，∵⊙ O 与 Rt △ ABC 的三边都相切，∴ AD ＝ AF ， BE ＝ BF ， CE ＝ CD ，由已知可得四边形 ODCE 为正方形，∴ CD ＝ CE ＝ OD ，设 AD=x ， BE=y ， CE ＝ r ，则有 x ＋ r ＝ 4 ， y ＋ r ＝ 3 ， x ＋ y ＝ 5 ，解得 r=1.
（ 2 ）设与 BC 、 AC 相切的最大圆与 BC 、 AC 的切点分别为 B 、 D， 连结 OB 、 OD ，则四边形 BODC 为正方形。∴ OB ＝ BC ＝ 3 ，∴半径 r 的取值范围为 0 ＜ r ≤ 3 。
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