2017中环杯五年级初赛试题解析

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2011中环杯五年级初赛试题解析

　　一、填空题：(每题7分，共56分)

　　1．对于任意的自然数X和Y，定义新运算@，X@Y＝6XY/(mX+2Y)，其中m是一个确定的自然数。如果1@2=1，则2@8＝(　　)。

　　解：3

　　2．一个各位数互不相同的五位数，能被3，5，7，11整除，那么当这个五位数取到最大值的时候，个位数字和为(　　)。

　　解：3、5、7、11整除则必定可被这四个数的最小公倍数整除，即可被1155整除。99999÷1155=86„„669，因此满足条件的五位数最大为1155×86=99330.不重复的最大数为1155×85=98175.各位数字和为9+8+1+7+5=30.

　　3．从1，2，3，4，„，2000共2000个正整数中，最多能取出( 　　)个数，使得对于取出来的数种的任意三个数a、b、c(a＜b＜c)，都有ab≠c。

　　解：抽屉原理

　　442=1936，452=2025，44×45=1980因此取45-2000共1956个数，组内两两相乘都满足ab≠c，再加上1，最多共可取出1957个数。

　　4．A、B、C、D四人被安排坐入排成一排的8个座位中，若任何两个人都不相邻而坐，共有(　　)方式。

　　解：加乘原理

　　8个座位分别为1、2、3、4、5、6、7、8，两人不相邻及取4个数不相邻1开头：1、3、5、7；1、3、5、8；1、3、6、8；1、4、6、8.2开头：2、4、6、8；共五种，每种四人有4×3×2×1=24种排列，共有5×24=120种。

　　5．如图，把正方体用一个与它的一面平行的平面切开，分成A、B两个长方体。当A、B的表面积比是1∶2时，用最简单的整数比表示A和B的体积比是(　　)。

　　解：设正方体边长为3，A的部分宽为a，则2×（4×a×1+2×1×1）=4×（1-a）×1+2×1×1得8a+4=6-4a；a=1/6。则体积比=A宽：B宽=1/6：5/6=1:5.

　　6．一支运输小分队奉命吧一些物资从驻地送到很远的地方。每辆运输车装满油最多能行180千米，且途中没有加油站。由于一辆运输车无法完成任务，队长决定派两辆车执行任务，其中一辆运输车负责运送物资，另一辆则在中途供给油料后安全返回驻地。那么，最远可以把物资运到距离驻地(    )千米远的地方。

　　解：最值问题

　　设在x千米处补充可行y千米的油料。则有x>=y，2x+y=180，可知180>=2y+y，则y=<60.运送物资的车最多可行180+y=180+60=240千米。

　　7．现在是上午10点，到(    )点(    )分时，时针和分针第一次重合。

　　解：行程问题。

　　分针一小时走60格，时针一小时走5格。10点时分针距离时针50格。则追及时间T=追及路程差/追及速度差=50/(60-5)=  10/11（时）=600/11（分）即10点=54+6/11分。

　　8．The number come next in this sequence is(　　)。

　　解：趣味问题

　　从第四项开始，每一项等于前三项之和，所以517+281+153=951。

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　　二、动手动脑题：（共44分。）

　　1、甲、乙两人在一条圆形跑道上同时同地同向出发，绕圆形跑道跑步。已知两人在跑步过程中速度均保持不变，且甲跑得比乙快。甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米。当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。求跑道长。（本题11分）

　　解：行程问题，450米或550米。

　　因为两人始终保持匀速，所以从出发开始，甲第二次追上乙所用的总时间是第一次追上乙所用时间的2倍，两人各自所走的路程也是第一次的2倍。因此，甲第二次追上乙时，可以认为乙离开出发点250×2=500（偶也）。接下来要分类讨论：如果这500米是不到一圈，那么跑道长500+50=550（米）。如果这500米是超过一圈，那么跑道长500-50=450（米）。如果这500米是超过两圈，那么跑道长（500-50）÷2=225（米）。因为甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米＞225米，所以舍去。所以，跑道长450米或550米。

　　2、如图所示，三角形ABC的面积是180平方厘米，且三角形BDE、三角形DEC和三角形ACE的面积都相等，求三角形ADE面积。（本题11分）

　　解：直线形面积，30平方厘米。

　　因为S_△BDE=S_△DEC，所以D为BC边上的中点，所以S_△ADB=1/2S_△ABC＝90（平方厘米）。又因为S_△BDE=S_△DEC=S_△ACE，所以S_△BDE+S_△DEC=2S_△ACE，即S_△BCE=2S_△ACE，所以E为AB边上的三等分点，所以S_△ADE=S_△ADB÷3?＝30（平方厘米）

　　3、某展览馆是一个拥有15间房间的大厅，下图为大厅的平面图。每天展览馆关门后，都会有一个警卫从大厅的入口进去，一间房一间房地逐次巡视，最后来到画有○标记的管理室休息。现在，规定每间房间警卫只能进去一次，且所有房间都要巡视到。你认为这个警卫应该怎样进行巡视才好呢？请在图中画出他的巡视路线。（本题10分）

　　　　　　　

                          　　　　　　　　　第2题                                                                                   第3题

　　解：如用染色法证明得3分

　　先黑白相间染色，进口为黑的，走的时候一定是黑-白-黑-白……这么黑白相间着走。一共有15个格子，黑格进一定是黑格出。所以不可能最后落入有圆圈的那个格子。

　　4、如图是一个立方体魔方，我们可以从图中看到它的右侧、上侧和前侧。如果顺时针转动魔方右侧第一层90 度，我们记作进行了一次R 操作；如果逆时针转动魔方右侧第一层90 度，则记作R’。对于上侧和前侧分别进行相同的旋转操作，分别记为U、U、F、F。现在对魔方进行4 次转动：①F，②R，③U’，④F，请你在图中依次画出每完成一次转动后，阴影面所在的位置。（本题12 分）

　　解：立体几何

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