数学基础知识的学习方法

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的值。若按一般常规先求出a、b的值，再分四种情况计算，就会陷入繁杂的运算而不能自拔。倘能注意观察，透过现象看本质，变已知条件为a²+3a-7=0，b+3b-7=0的形式，就不难发现a、b为方程x²+3－7=0的两根，从而利用一元二次方程的韦达定理，有a+b=－3, 就不难求解了。
　　(2)改隐式为显式
　　定理的叙述有“显式”与“隐式”等。有些定理把条件和结论叙述得很明显，甚至就是标准形式，我们不妨把这种定理的叙述形式叫做显式(完整式)。还有些定理的叙述，文字简洁，但其中条件和结论表现得并不是很明显，我们把它称为隐式(省略式)。证题时，需要先把隐式变为显式，以弄清定理的结构，即正确区分定理的条件和结论。如“垂直于同一条直线的两个平面平行”。我们把它改变为“如果两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面平行”。这样，条件和结论就明显了。改隐式为显式，是学习数学定理必须掌握的基本技能。
　　(3)试作证明或推导
　　学习定理的证明或推导方法有两种，一种是直接阅读教材，按照教材中给出的解答过程，找出每一步的理论依据及其推算过程，从而弄懂推证方法。
　　另一种方法是，不先看书，而是通过认真审理，分析定理的条件和结论，联想有关的知识，运用分析与综合的方法，理出解决问题的思路，并且试写解答过程，然后再与教材中的解答方法相对照、比较，进行修改补充，从而准确地掌握证明或推导方法。
　　两种方法相比较，第一种方法便当省力，但不利于培养数学能力，有时会感到方法来之突然，甚至感到不可琢磨，而且所学到的方法也往往是僵死的；第二种方法比较费力，但对其推证方法感到自然，印象深刻，便于灵活运用，更有利的是在学习推证过程中，能较快地提高分析能力，想象能力，推理能力和解决问题的能力。
　　(4)逆向分析
　　对所学的定理，要从不同的角度，不同的方面去分析，去思考，可提高解题的正确率，并促进思维能力的发展。
　　对于一个定理，应写出它的逆命题，并判断是否成立。正确的要加以证明，不正确的要举出反例。如sin2a=2sinacosa要分析它的正向sin2a=2sinacosa，逆向2sina cosa=sin2a；sinacosa=sin2a。变形sina=；cosa=。
　　(5)重视定理的选择
　　证同一题目，寻求多种方法，再对最简捷，最合理的证法进行探索，这对于合理选择定理，灵活运用定理，简捷证题是很有益处的。
　　例，正三棱柱ABC－A₁B₁C₁的各条棱长为a是CC₁的中点，求证：A₁B垂直于平面AB₁D。(见图1)
　　　　      （图14）

　　①应用“如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线和这个平面垂直。”
　　思路分析1：
　　连接AB₁交A₁B于O，由于ABB₁A₁是正方形
　　∴A₁B⊥AB₁且A₁B与AB₁互相平分于O
　　连接DO， ∵AD=B₁D，则A₁B⊥OD
　　∴A₁B⊥平面AB₁D 
　　②应用“如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线，垂直于另一个平面”。
　　思路分析2：
　　由AD=DB₁可知OD⊥AB₁，同理OD⊥A₁D
　　∴OD⊥平面ABB₁A₁，于是平面AB₁D⊥平面ABB₁A₁。
　　而A₁B⊥AB₁ ∴A₁B⊥平面AB₁D
　　③应用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。”
　　思路分析3：
　　取BB₁，AB的中点E，F。连CE，EF，CF。由于CE∥B₁D，EF∥AB₁，∴平面AB₁D∥平面FEC
　　而A₁B⊥AB₁
　　∴A₁B⊥EF又平面ABC⊥平面ABB₁A₁，CF⊥AB
　　则CF⊥平面AAB₁A₁
　　∴CF⊥A₁B
　　∴A₁B⊥平面CEF 故A₁B⊥平面AB₁D
　　(6)注意定理的推广 
　　由于普遍性的规律寓于具体的事物中，因此我们在证明一个定理后，应该探究此定理能否推广，这对于丰富知识，深化认识，提高解题能力是很有益的。譬如由三角形内角和到n边形内角和，由(a+b)^２的公式到(a+b)ⁿ的展开式，由sin2a的公式到sina的公式等等。对于这些问题的研究，必然大大提高我们的认识水平和解题能力。
　　定理的推广实际上是一个由特殊到一般的深化认识的过程。当我们证实了一些特殊的形(或数)的某种特性以后，再将条件一般化，采用类比或经验归纳的方法猜想结论，然后设法证明(肯定或否定)这一猜想。如果猜想得到证实，那么定理就推广了。
　　例如棣莫佛定理， [r(cosθ+isinθ)]ⁿ=rⁿ(cosθ+isinθ)，教材中推导了当n∈N时成立，在习题中推广到n为负整数时也成立。
　　即当时n∈N，(cosθ+isinθ)^-n=cos(－nθ)+sin(－nθ)。
　　那么当n为分数或无理数时是否还成立呢?

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