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高三类别：综合测试版本：通用版最新一年全国高中数学联合竞赛加试试卷（考试时间：上午10：00—12：00）一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。二、（本题满分50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。三、（本题满分50分）设集合P={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=，其中[a]表示不大于a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k)=n。最新一年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案一、（本题满分50分）如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点...，大小：20.9 MB
