圆形练习题及答案（三）

∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。

又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。

（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。

而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO 。∴。

∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA 。

设PA=x，则PC=

在Rt△PCO中，由勾股定理得，，解得：。

∴PC。

【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。

（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。

6.（2012四川广元9分）如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD

⊥CD

（1）求证：AE平分∠DAC；

（2）若AB=3，∠ABE=60°，

①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积。

【答案】解：（1）证明：连接OE。

∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD。

∵AD⊥CD，∴AD∥OE。∴∠DAE=∠AEO。

∵OA=OE，∴∠EAO=∠AEO。

∴∠DAE=∠EAO。∴AE平分∠DAC。
（2）①∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°。

∵∠ABE=60°，∴∠EAO=30°。∴∠DAE=∠EAO=30°。

∵AB=3，∴在Rt△ABE中，

在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，AE= ，∴。

②∵∠EAO=∠AEO=30°，∴。

∵OA=OB，∴。

∴

。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，扇形面积的计算。

【分析】（1）连接OE，由切线的性质可知，OE⊥CD，再根据AD⊥CD可知AD∥OE，故∠DAE=∠AEO，

再由OA=OE可知∠EAO=∠AEO，故∠DAE=∠EAO，故可得出结论。

（2）①根据∠ABE=60°求出∠EAO的度数，进而得出∠DAE的度数，再根据锐角三角函数的定

义求出AE及BE的长，在Rt△ADE中利用锐角三角函数的定义即可得出AD的长。

②由三角形内角和定理求出∠AOE的度数，再根据OA=OB可知求

出△AOE的面积，由即可得出结论。

7.（2012四川德阳14分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.

⑴求证：AE·FD=AF·EC；

⑵求证：FC=FB；

⑶若FB=FE=2，求⊙O 的半径r的长.

【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。

∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。

∴。∴AE•FD=AF•EC。

（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴。

∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。

∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。

（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。

∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。

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