圆形练习题及答案（三）

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∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。

∵FB⊥AG，∴AB=BG。

连接OC，BC，

∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。

∵OC=OA，CF=BF，

∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC

∴∠FCB=∠CAB。

∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。

∴CG是⊙O切线。

∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，

【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】

在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，∴FG2﹣4FG﹣12=0。

解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。

由勾股定理得：AB=BG=。

∴⊙O的半径r是。

【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。

（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。

（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG

的长，从而得到⊙O的半径r。

8.（2012四川绵阳12分）如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C=60°。

（1）求∠APB的大小；

（2）若PO=20cm，求△AOB的面积。

【考点】切线的性质，圆周角定理，多边形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】（1）由PA、PB分别切⊙O于A、B，由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小。

（2）由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角函数的性质，求得AD与OD的长，从而求得答案。

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9.（2012四川凉山8分）如图，已知直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，连接PC并延长PC交y轴于点D（0，3）．

（1）　　　求证：△POD≌△ABO；

（2）　　　若直线l：y=kx+b经过圆心P和D，求直线l的解析式

【答案】（1）证明：连接PB，

∵直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，

∴∠APB=∠DPO=×180°=60°，∠ABO=∠POD=90°。

∵PA=PB，∴△PAB是等边三角形。

∴AB=PA，∠BAO=60°，

∴AB=OP，∠BAO=∠OPD。

在△POD和△ABO中，

∵∠OPD=∠BAO，OP=BA ，∠POD=∠ABO ，　

∴△POD≌△ABO（ASA）。

（2）解：由（1）得△POD≌△ABO，∴∠PDO=∠AOB。

∵∠AOB=∠APB=×60°=30°，∴∠PDO=30°。

∴OP=OD•tan30°=3×。∴点P的坐标为：（－，0）。

∵点P，D在直线y=kx+b上，

∴，解得：。

∴直线l的解析式为：y=x+3。

【考点】圆周角定理，全等三角形的判定，锐角三角函数定义，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）首先连接PB，由直径为OA的⊙P与x轴交于O、A两点，点B、C把三等分，可求得∠APB=∠DPO=60°，∠ABO=∠POD=90°，即可得△PAB是等边三角形，可得AB=OP，然后由ASA，即可判定：△POD≌△ABO。

（2）易求得∠PDO=30°，由OP=OD•tan30°，即可求得点P的坐标，然后利用待定系数法，即可求得直线l的解析式。

10.（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O

上一点，且∠AED=45°。

（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。

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