石景山区高三上册数学理科试卷及答案

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.　　 …………………3分

　　（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件，则有

　　＝，　　 …………………5分

　　所以，.　　 ……………………7分

　　（Ⅲ）的所有可能取值为.　　 ……………………8分

　　所以，

　　

　　，

　　

　　，

　　=＝ .　　 ……………………11分

　　分布列为：

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x	0	1	2	3
p	1/4	11/24	1/4	1/24

所以，.　　 ………………13分

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　　18．（本小题共13分）

　　（Ⅰ）　　 …………………1分

　　，，所以切线的方程为

　　，即．　　 …………………3分

　　（Ⅱ）令则

　　…………………6分

　　，所以且，，，
　　即函数的图像在直线的下方．　　 …………………8分

　　（Ⅲ）令，.
　　 令，，
　　则在上单调递增，在上单调递减，

　　当时，的最大值为.X|k |B| 1 . c|O |m

　　所以若，则无零点；若有零点，则．………………10分

　　若，，由（Ⅰ）知有且仅有一个零点.

　　若，单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知有且仅有一个零点（或：直线与曲线有一个交点）.

　　若，解得，由函数的单调性得知在处取最大值，，由幂函数与对数函数单调性比较知，当充分大时，即在单调递减区间有且仅有一个零点；又因为，所以在单调递增区间有且仅有一个零点.

　　综上所述，当时，无零点；

　　当或时，有且仅有一个零点；

　　当时，有两个零点.　　 …………………13分

　　19．（本小题共14分）

　　（Ⅰ）设椭圆的方程为，因为，所以，

　　又因为，所以，解得，

　　故椭圆方程为．　　 …………………4分

　　（Ⅱ）将代入并整理得，

　　解得．　　 …………………7分

　　（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．
　　设，，

　　则．　　 …………………9分

　　

　　

　　所以直线的斜率互为相反数．　　 …………………14分

　　20．（本小题共13分）

　　（Ⅰ）显然对任意正整数都成立，即是三角形数列。

　　因为，显然有，

　　由得

　　解得.

　　所以当时，

　　是数列的保三角形函数.　　 …………………3分

　　（Ⅱ）由，得，

　　两式相减得，所以　　 …………………5分

　　经检验，此通项公式满足.

　　显然，

　　因为，

　　所以是三角形数列.　　 …………………8分

　　（Ⅲ），

　　所以单调递减.

　　由题意知，①且②，

　　由①得，解得，

　　由②得，解得.

　　即数列最多有26项.　　 …………………13分

　　【注：若有其它解法，请酌情给分．】

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