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直线与椭圆的交点及位置关系

12-20 22:53:02  浏览次数:466次  栏目:数学典例讲解

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直线与椭圆
例1 已知椭圆C的焦点F1(- ,0)和F2( ,0),长轴长6,设直线 交椭圆C于A、B两点,求线段AB的中点坐标
解:由已知条件得椭圆的焦点在x轴上,其中c= ,a=3,从而b=1,所以其标准方程是:
.联立方程组 ,消去y得, .
设A( ),B( ),AB线段的中点为M( )那么: , =
所以 = +2= .也就是说线段AB中点坐标为(- , ).
评析 直线与椭圆的公共点、弦长、弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题,进而转化为一元二次方程的问题.
题型二  求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题
例2 
 
评析  “点差法”的要点是巧代斜率,与弦中点有关的问题有三类:平行弦的中点轨迹,过定点的弦中点轨迹,过定点且被定点平分的弦的所在的直线方程
备选题
例3.在 中,BC=24,AC、AB边上的中线长之和等于39,求 的重心的轨迹方程。
解   如图所示,以线段BC所在直线为x轴、线段BC的中垂线为y轴建立直角坐标系。 设M为 的重心,BD是AC边上的中线,CE是AB边上的中线,由重心的性质知 , ,于是 = = .根据椭圆的定义知,点M的轨迹是以B、C为焦点的椭圆.
26, ,又 , , ,故所求的椭圆方程为 .

评析 有一定长线段BC,两边上的中线长也均与定点B、C和 的重心有关,因此需考虑以BC的中点为坐标原点建立直角坐标系。但需注意点A不能在BC的所在的直线上。 在求点的轨迹时,要特点注意所求点轨迹的几何意义,在本题中,所求的椭圆方程为  ,直线与椭圆的交点及位置关系
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