数学解题的三种思维方法

做任何事情都要讲究方法。方法对头，事半功倍；方法不当，事倍功半。解答数学问题，关键也在于掌握思考问题的方法，少走弯路，以尽快获得满意的答案。

数学解题的思维方法很多，如分析法、综合法、变更问题法、试验法、联想法、换元法、数形结合法、构造法、待定系数法等等。其中前三种方法是解题中最常见，使用频率最高的方法，这里就这三种方法联系实际问题，与读者切磋一下它们的使用技巧。

(一)分析法与综合法

分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。为便于读者熟练地掌握这两种方法，从而获得希望成功的解题思路，现举例说明如下。

例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2．

证明：(用分析法思路书写)

要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，

只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立，

即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0)

只需证a2-2ab+b2＞0成立，

即需证(a-b)2＞0成立。

而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。

(以下用综合法思路书写)

∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0

亦即a2-ab+b2＞ab

由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab

即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证。

从例1容易看出，分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理实际上是要寻找它的充分条件。综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理实际上是要寻找它的必要条件。

从例1也不难发现，分析法和综合法各有其优缺点：从寻求解题思路来看，分析法执果索因，常常根底渐近，有希望成功；综合法由因导果，往往枝节横生，不容易奏效。从表达过程而论，分析法叙述繁锁，文辞冗长；综合法形式简洁，条理清晰。也就是说，分析法利于思考，综合法宜于表达。因此，在实际解题时，常常把这两种方法结合起来使用：先以分析法为主寻求解题思路；再用综合法有条理地表达解题过程。请再看下面的例子。

思考方法：先从待证结论出发(用分析法)，结论左边是两个算术根之和，稍作观察便可发现，根号内的代数式都是完全平方式，所以要证明结论成立，只要证明│a-2│+│a-b│=4就可以了。于是，解题的关键在于确定a的取值范围，以去掉绝对值符号。再从已知条件来想(用综合法)，已知a为实数，关于x的二次方程没有实数根，则其根的判别式△＜0，由此便可探明a的取值范围，这样，和上面的分析联系起来，原题便可解出。简证如下：

证明：∵已知的关于x的二次方程无实根，

∴判别式△=(-2a)2-4·4·(2a-3)＜0

整理，得a2-8a+12＜0

于是，解得2＜a＜6

∴欲证的恒等式左边=│a-2│+│a-6│

=(a-2)+(6-a)=4=右边

∴命题得证

下面请读者试着练习：

2．已知二次方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两根分别在0～1和1～2内(不包括0，1，2这三个数)，求k的范围。

(提示：联系二次函数图象的特征，可有：当然x=0或2时，方程左边大于0；当x=1时，方程左边小于0)

(二)变更问题法

解答数学题，实质上就是通过由因导果或执果索因，确立题中条件与问题或条件与结论逻辑上的必然联系，实现由已知向未知的转化。一般说来，对于结构比较简单的问题，通过适当地分析与综合就能找到合理的解题途径。但对于结构复杂、抽象多变的数学题，常常要从变更问题的角度，去探讨解题的思考方法。

所谓变更问题，就是在直接求解原问题难以入手时，把原问题作适当的变更，造成一个或几个比原问题来得简单、难度较低、易于解答的新问题，以通过对新问题的考察，发现原问题的解题思路，最终达到解决原问题的目的。从某种意义上说，解答数学题的关键，就在于对原问题作一系列恰当的变更。

变更问题，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，还可以同时变更问题的条件和结论。但是，变更问题必须注意数学题的特点，使变更后得到的新问题越熟悉越好（曾是解答过的问题)，越简单越好(便于解答)，越特殊越好(变成特殊情形的问题)，越直观越好(抽象的问题直观化)等等。

例1．不存在整数a，b，c满足a2+b2-8c=6

思考方法：本题不大容易入手，如把式子a2+b2-8c=6变形为a2+b2=8c+6，则原题变更为：证明不存在整数a和b，使它们的平方和被8除余6，显然，变更后的问题便是我们利用整数性质易于证明的熟悉问题了，可对整数的四种形式：4n、4n+1，4n+2，4n+3(n为整数)逐一进行验证，以说明这四种形式中的任意两种形式的平方和都不能满足“被8除余6”。具体解题过程留给读者，请用综合法写出来。

例2．m为何值时，关于x的二次方程2(m+1)x2-4mx+3(m-1)=0(1)至少有一正根?

思考方法：至少有一个正根的情况比较复杂，可以分解为三个简单问题：一是有两个正根；二是有一正根、一负根；三是有一正根和一根为0，故原题由此易解。此题亦可这样来分析：方程(1)至少有一正根的反面，是有两负根，这样可先确定两负根时m的取值范围，而后解出原题。按后一种思路简解如下，前一种方法请读者完成。

解：∵方程(1)有实根且为二次方程，

∴△=(-4m)2-4×2×3(m2-1)≥0且m+1≠0，

假设方程(1)有两个负根，则有

经解，上述不等式组无解，所以方程(1)不可能有两负根(假设不成立)，