【数学】解决排列组合问题常见策略

排列、组合问题是高中数学的重要知识之一，由于解这类问题时方法灵活，切入点多，且抽象性强，在做题过程中发生重复或遗漏现象不易被发现，所以成为学习的难点之一。如果在解决排列、组合问题时，注意常见的解题策略，则会降低学习这部分知识的难度。

1. 合理选择主元

例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？

例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？

分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有 种不同坐法。例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2. 相邻问题捆绑法

若元素（或位置）相邻，则将它们“捆绑”在一起，看作一个元素进行计算，然后再交换相邻元素（或位置）内部顺序算出总数。

例3. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生站在一起，共有多少种不同的站法？

解：先把3名男生“捆绑”在一起当作一个元素，连同其余5名女生共6个元素，进行排列，再交换3名男生的位置，故站法共有：

（种）

3. 不相邻用插空法

对于一些元素（或位置）不相邻的排列、组合问题，应先将其他元素（或位置）排好，再把不相邻的元素（或位置）在已排好的元素（或位置）间插空。

例4. 5名女生3名男生站成一排照相，其中3名男生互不相邻共有多少种站法？

解：先将5名女生排好，将3名男生插在5名女生之间的6个空位中，则站法有：

（种）

4. “至少”型组合问题用隔板法

对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？

解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有：

（种）

5. 注意合理分类

元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。再用分类计数原理求出总数。

例6. 求用0，1，2，3，4，5六个数字组成的比2015大的无重复数字的四位数的个数。

解：比2015大的四位数可分成以下三类：

第一类：3×××，4×××，5×××，共有： （个）；

第二类：21××，23××，24××，25××，共有： （个）；

第三类：203×，204×，205×，共有： （个）

∴比2015大的四位数共有237个。