例谈动量守恒中系统的选择

在学习动量守恒定律之后，会接触到多个物体参与作用的动量守恒问题。系统的动量守恒不是系统内所有物体的动量不变，而是系统内每个物体动量的矢量和不变。对于多个物体参与作用，要善于应用整体动量守恒；要善于选择合理系统；要善于选择相互作用过程。

一、多个物体发生作用存在较明显的先后

例1　（2001年全国高考题）质量为M的小船以速度v₀行驶，船上有两个质量皆为m的小孩a和b，分别静止站在船头和船尾。现小孩a沿水平方向以速率v（相对静止水面）向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以同一速率v（相对于静止水面）向后跃入水中。求小孩b跃出后小船的速度。

分析　小船匀速行驶，所受合外力为零，人与船在水平方向上发生相互作用，满足动量守恒定律。

方法1　以小孩a和船及船上的小孩b为一系统，设小孩a跃出后小船向前行驶的速度为v₁，根据动量守恒定律有

，①

又以小孩b和船为一系统，设小孩b跃出后小船向前行驶的速度为v₂，根据动量守恒定律有

。②

由①②可解得

方法2　由于两小孩跃出时对水面有相同速率，故依次跃出和同时跃出产生的效果相同，即可相当a、b同时与船发生相互作用，设小孩a、b跃出后小船向前行驶的速度为v₂，根据动量守恒定律有

解得

显然，用整体动量守恒得出结论和选择分过程为系统得出的结论相同，但用整体动量守恒无须求出a小孩跃出后小船的速度，直接应用几个物体整体动量守恒，不仅使解题方便简洁，还能加深对动量守恒定律的认识和理解。

变题　若本题中，小孩a是以相对船沿水平方向的速度v向前跃入水中，然后小孩b沿水平方向以相对船的速度v向后跃入水中，则船的速度又是多少？

解析　以小孩a和船及船上的小孩b为一系统，设小孩a跃出后小船向前运动的速度为v₁，由动量守恒定律，有

，①

以小孩b与小船为一系统，设小孩b跃出后小船向前运动的速度为v₂，由动量守恒定律有

。②

由①②得

小孩a、b在前后跃入水中的情景不相同，前者问题中小孩么b都是以相对静止的水面的速度跃入水中，后者问题中小孩a、b分别以相对船的速度v跃入水中，导致小船前后速度不相同。因此，发生相互作用的多个物体，先后作用产生的效果相同，可以应用整体动量守恒；先后产生的效果不相同，则不能应用整体动量守恒，而应多考虑分系统，分过程动量守恒。

二、多个物体相互作用，没有明显的先后或同时进行

例2　两只小船平行逆向航行，船和船上的麻袋总质量分别为m_甲＝500kg ，m_乙＝1000kg ，当它们头尾相齐时，由每只船上各投质量m＝50kg的麻袋到另一船上去，结果甲船停下来，乙船以v＝8．5m/s的速度沿原方向继续航行，求交换麻袋前两只船的速率各为多少？（水阻力不计）

分析　投掷麻袋时，由于船与麻袋在前进方向上均未受到外力作用，故由动量守恒定律知道，在麻袋未落到对面船上以前，甲、乙二船及空中麻袋在各自前进方向上的速度未发生变化，麻袋在未交换前与船同速度。

以甲船上投出的麻袋和抛出麻袋后的乙船为系统，则该系统的总动量守恒，选乙船前进方向为正方向，有

。①

以从乙船上抛出的麻袋和抛出麻袋后的甲船为系统，则该系统的总动量守恒，有

。②

代入数据，由①②联立解得