高二数学棱柱与棱锥导学案

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　　∵AA1与AB、AC都成45°角，

　　∴AO是∠BAC的平分线.

　　又△ABC为正三角形，

　　∴AO⊥BC.

　　由三垂线定理可知AA1⊥BC，

　　又AA1∥BB1∥CC1，

　　∴四边形BB1C1C为矩形，

　　S侧=2absin45°+ab=( +1)ab.

　　解法二：作BM⊥AA1于点M，连结CM，可证得△BMA≌△CMA，

　　∴CM⊥AA1.

　　又△BMC是棱柱的直截面，

　　∵∠MAB=∠MAC=45°，∴CM=BM= a.

　　∴C直截面= a+ a+a=( +1)a.

　　∴S侧=( +1)ab.

　　评述：解法一是采用求各侧面面积之和来求侧面积的;解法二是先作棱柱的直截面，利用直截面周长与侧棱长之积求得侧面积.

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　　[例4]斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，AB=AC=10 cm，BC=12 cm，A1到A、B、C三点距离相等，AA1=13 cm，求这个斜三棱柱的全面积.

　　解：如图，在侧面A1ABB1中作A1D⊥AB于点D，由A1A=A1B，

　　∴D是AB的中点，那么A1D2=A1A2-AD2=132-52.

　　∴A1D=12 cm.

　　∴SA1ABB1=SA1ACC1=A1D•AB=120 cm2.

　　取BC的中点E，连结A1E、AE.

　　由已知A1B=A1C，AB=AC，得

　　A1E⊥BC，AE⊥BC.

　　∴BC⊥平面A1AE.∴BC⊥A1A.

　　又A1A∥B1B，∴BC⊥B1B.

　　∴侧面BB1C1C是矩形.

　　∴SBB1C1C=BB1•BC=13•12=156 (cm2).

　　∴S侧=2SA1ABB1+SBB1C1C=2•120+156=396 (cm2).

　　而AE= =8 (cm)，

　　S底= BC•AE= •12•8=48 (cm)，

　　∴S全=S侧+2S底=396+2•48=492 (cm2).

　　[例5]斜三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1=20 cm，平面B1A1AB与平面A1C1CA所成的二面角为120°，AA1与BB1、CC1的距离分别为16 cm、24 cm，求此三棱柱的侧面积.

　　分析：求斜棱柱的侧面积可求各侧面面积之和，也可以求它的截面周长C与侧棱长l的乘积.

　　解法一：在AA1上取一点E，过E在平面AA1B1B作中GE⊥AA1，交BB1于点G，过E点在平面AA1C1C中作EF⊥AA1，交C1C于点F，则∠GEF为已知二面角的平面角，所以∠GEF=120°.又AA1⊥平面GEF，由棱柱的性质，可得AA1∥B1B∥C1C，

　　∴BB1⊥平面GEF.又GF 平面GEF，

　　∴BB1⊥GF.

　　由题意，知GE=16 cm，EF=24 cm.

　　∵∠GEF=120°，

　　在△GEF中，

　　GF=

　　=

　　=8 cm，

　　又∵S A1ABB1=AA1•GE=20×16=320 (cm2)，

　　S A1ACC1=AA1•EF=20×24=480 (cm2)，

　　S B1BCC1=BB1•GF=20•8 =160 (cm2)，

　　∴S斜棱柱侧=S A1ABB1+S A1ACC1+S B1BCC1

　　=320+480+160 =160(5+ )(cm2).

　　解法二：在侧棱A1A上取一点E，过E作AA1的垂面分别交BB1、CC1于点G、F，连结FG，则平面EFG为斜三棱柱ABC—A1B1C1的直截面.

　　由题意AA1⊥面EFG，

　　∴AA1⊥EG，AA1⊥EF.

　　∴∠GEF为已知二面角的平面角.

　　∴∠GEF=120°，又GE=16 cm，EF=24 cm，

　　∴在△EFG中，由余弦定理得

　　FG=

　　=8 cm.

　　∴S侧=l•C=20(16+24+8 )

　　=160(5+ ) (cm2).

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