《等差数列》课前预习

课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列｛a_n｝有a_n+1-a_n=d(n∈Ｎ_＋)，这就是等差数列的递推公式。由a_n-a_n-1=d，a_n-1-a_n-2=d，……，a₂-a₁=d，将这 n-1个式子相加，得a_n-a₁=(n-1)d，即 a_n=a₁+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。

等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。

根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a，Ａ，b成等差数列，那么Ａ叫做a,b的等差中项，且Ａ＝ ，（Ａ也叫a,b的算术平均值）。容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即 ，（n,k∈Ｎ_＋，且 n＞k）。

等差数列有如下一些性质：

（１）设数列｛a_n｝是公差为d的等差数列，那么a_n=a_m+(n-m)d (m,n∈Ｎ_＋)

（２）设数列｛a_n｝是等差数列，如果m,n,k, ∈Ｎ_＋，且 m+n=k+ ，那么 a_m+ a_n=a_k+

（３）等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．

（４）设数列｛a_n｝和｛b_n｝都是等差数列，那么数列｛λa_n+μb_n｝（λ，μ为常数），也是等差数列．

以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试．