2017高考数学复习：直线和圆的方程（四）

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2013高考数学复习：直线和圆的方程（四）

【知识图解】                                                               

 

 【方法点拨】

1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题．

2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法，并能够熟练运用对称性来解决问题.

3．熟练运用待定系数法求圆的方程．

4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．

5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想．

6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识．

 第4课　直线与圆的位置关系

【考点导读】

能利用代数方法和几何方法判定直线与圆的位置关系；熟练运用圆的有关性质解决直线与圆、圆与圆的综合问题，运用空间直角坐标系刻画点的位置，了解空间中两点间的距离公式及其简单应用.

【基础练习】

1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是-6＜a＜4

2.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于

3.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为  x=2或3x-4y-2=0           .

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【范例导析】

例1.已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.

分析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.

（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.

由得  即l恒过定点A（3，1）.

∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），  ∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.

点拨:直线与圆相交截得弦长的最小值时，可以从垂径定理角度考虑，充分利用圆的几何性质.

例2.已知圆O: ，圆C:，由两圆外一点引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|=|PB|.求实数a、b间满足的等量关系.

解：连结PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1

∴|PO|2=|PC|2，从而

化简得实数a、b间满足的等量关系为: .

例3.已知圆C与两坐标轴都相切，圆心C到直线的距离等于.

求圆C的方程.

解：设圆C半径为，由已知得：  ∴，或

∴圆C方程为.   

例4.如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3，2)的入射光线l1被直线l：y=x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1， l2都相切.

(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；

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