小学四年级奥数专题（十四）盈亏问题与比较法

　例1 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？

　　分析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6 粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差 为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为 15÷1＝15（人），糖果的粒数为

　　4×15＋9＝69（粒）。

　　解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人），

　　4×15＋9＝69（粒）。

　　答：有15个小朋友，分69粒糖。

　　例2 小朋友分糖果，若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖果？

　　分析：本题与例1基本相同，例1中两次分配数之差是5-4=1（粒），本题中两次分配数之差是5-3＝2（粒）。例1中，两种分配方案的盈数与 亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中，两种分配方案的盈数与亏数之和为2＋6=8（粒）。仿照例1的解法即可。

　　解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），

　　3×4＋2＝14（粒）。

　　答：有4个小朋友，14粒糖果。

　　由例1、例2看出，所谓盈亏问题，就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数，反过来求出分配的总人数与被分配东 西的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数），由此得到求解盈亏问题的公式：

　　分配总人数=盈亏总额÷两次分配数之差。

　　需要注意的是，两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”一“盈”或“亏”等情况。

　　例3 小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？

　　分析与解：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16—— 10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得

　　有小朋友（0＋16×3）÷（16——10）＝8（人），

　　有 糖10×8＝80（粒）。

　　下面的几道例题是购物中的盈亏问题。

　　例4 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元。问：有多少个小朋友？东西的价格是多少？

　分析与解：两种购物方案的盈亏总额是8＋4＝12（元），两次分配数之差是10——7＝3（元）。由公式得到

　　小朋友的人数（8＋4）÷（10——7）＝4（人），

　　东西的价格是10×4——8＝32（元）。

　　例5 顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元。这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱？

　　分析与解：买5本多3元，买7本少1.8元。盈亏总额为3＋1.8=4.8（元），这4.8元刚好可以买7——5＝2（本）书，因此每本书 4.8÷2=2.4（元），顾老师共带钱

　　2.4×5＋3＝15（元）。

　　例6 王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？

　　分析：本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把，少买了7 ——5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110——30＝80（元），即80元钱可以买 2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。

　　解：（110——30）÷（7——5）＝40（元），

　　40×7——110＝170（元）。

　　答：小提琴40元一把，王老师带了170元钱。

　　练习14

　　1．小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？

　　2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千 克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？

　　3．学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？

　　4．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少 支彩色笔？

　　5．红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？

　　6．某数的8倍减去153，比其5倍多66，求这个数。

　　7．某厂运来一批煤，如果每天烧1500千克，那么比原计划提前一天烧完；如果每天烧1000千克，那么将比原计划多用一天。现在要求按原计划 烧完，那么每天应烧煤多少千克？

　　8．同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？