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小学四年级奥数专题(二十五)智取火柴

03-04 00:49:41  浏览次数:776次  栏目:小学四年级数学试卷

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  在小学数学游戏中有一类取火柴游戏,它有很多种玩法,由于游戏的规则不同,取胜的方法也就不同。但不论哪种玩法,要想取胜,一定离不开用数学思想去推算。

  例1.桌子上放着60根火柴,甲、乙二人轮流每次取走1~3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方都采用最佳方法,甲先取,那么谁将获胜?

  分析与解:本题采用逆推法分析。获胜方在最后一次取走最后一根;往前逆推,在倒数第二次取时,必须留给对方4根,此时无论对方取1,2或3根, 获胜方都可以取走最后一根;再往前逆推,获胜方要想留给对方4根,在倒数第三次取时,必须留给对方8根……由此可知,获胜方只要每次留给对方的都是4的倍 数根,则必胜。现在桌上有60根火柴,甲先取,不可能留给乙4的倍数根,而甲每次取完后,乙再取都可以留给甲4的倍数根,所以在双方都采用最佳策略的情况 下,乙必胜。

  在例1中为什么一定要留给对方4的倍数根,而不是5的倍数根或其它倍数根呢?关键在于规定每次只能取1~3根,1+3=4,在两人紧接着的两次 取火柴中,后取的总能保证两人取的总数是4。利用这一特点,就能分析出谁采用最佳方法必胜,最佳方法是什么。由此出发,对于例1的各种变化,都能分析出谁 能获胜及获胜的方法。

  例2.在例1中将“每次取走1~3根”改为“每次取走1~6根”,其余不变,情形会怎样?

  分析与解:由例1的分析知,只要始终留给对方(1+6=)7的倍数根火柴,就一定获胜。因为60÷7=8……4,所以只要甲第一次取走4根,剩 下56根火柴是7的倍数,以后总留给乙7的倍数根火柴,甲必胜。

  由例2看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者获胜的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数根火柴,谁将获胜。

  例3.将例1中“谁取走最后一根火柴谁获胜”改为“谁取走最后一根火柴谁输”,其余不变,情形又将如何?

  分析与解:最后留给对方1根火柴者必胜。按照例1中的逆推的方法分析,只要每次留给对方4的倍数加1根火柴必胜。甲先取,只要第一次取3根,剩 下57根(57除以4余1),以后每次都将除以4余1的根数留给乙,甲必胜。

  由例3看出,在每次取1~n根火柴,取到最后一根火柴者为负的规定下,谁能做到总给对方留下(1+n)的倍数加1根火柴,谁将获胜。

  有许多游戏虽然不是取火柴的形式,但游戏取胜的方法及分析思路与取火柴游戏完全相同。

  例4.两人从1开始按自然数顺序轮流依次报数,每人每次只能报1~5个数,谁先报到50谁胜。你选择先报数还是后报数?怎样才能获胜?

 分析与解:对照例1、例2可以看出,本例是取火柴游戏的变形。因为50÷(1+5)=8……2,所以要想获胜,应选择先报,第一次报2个数,剩下48个 数是(1+5=)6的倍数,以后总把6的倍数个数留给对方,必胜。,小学四年级奥数专题(二十五)智取火柴

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