圆形练习题及答案（六）

（2）∵∠BOD是△BOC的外角，∠BCO是△ACD的外角，

∴∠BOD＝∠B＋∠BCO，∠BCO＝∠A＋∠D。∴∠BOD＝∠B＋∠A＋∠D。

又∵∠BOD和∠A分别是弧BD所对的圆心角和圆周角， ∴∠BOD＝2∠A。

又∵∠B＝30°，∠D＝20°，∴2∠A＝∠A＋30°＋20°，即∠A＝50°。

∴∠BOD＝2∠A＝100°。

（3）∵∠BCO＝∠A＋∠D，∴∠BCO＞∠A，∠BCO＞∠D。

∴要使△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°。

此时∠BOC＝60°，∠BOD＝120°，∴∠DAC＝60°。

∴△DAC∽△BOC。

∵∠BCO＝90°，即OC⊥AB，∴AC＝AB＝。

∴当AC＝时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似。

【考点】弦径定理， 直角三角函数， 圆周角定理， 三角形外角定理，相似三角形的判定。

【分析】(1) 由OB＝2，∠B＝30°知。

(2) 由∠BOD是圆心角，它是圆周角A的两倍， 而得求。

(3)要求AC的长度为多少时，△DAC∽△BOC，只能∠DCA＝∠BCO＝90°，据此可求。

11. （2012江苏苏州8分）如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上

的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为.

⑴当 时，求弦PA、PB的长度；

⑵当x为何值时，的值最大？最大值是多少？

【答案】解：（1）∵⊙O与直线l相切于点A，AB为⊙O的直径，∴AB⊥l。

又∵PC⊥l，∴AB∥PC. ∴∠CPA=∠PAB。

∵AB为⊙O的直径，∴∠APB=90°。

∴∠PCA=∠APB.∴△PCA∽△APB。

∴，即PA2=PC·PD。

∵PC=，AB=4，∴。

∴在Rt△APB中，由勾股定理得：。

（2）过O作OE⊥PD，垂足为E。

∵PD是⊙O的弦，OF⊥PD，∴PF=FD。

在矩形OECA中，CE=OA=2，∴PE=ED=x－2。

∴CD=PC－PD= x－2（x－2）=4－x 。

∴。

∵

∴当时，有最大值，最大值是2。

【考点】切线的性质，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，矩形的判定和性质，二次函数的最值。

【分析】（1）由直线l与圆相切于点A，且AB为圆的直径，根据切线的性质得到AB垂直于直线l，又PC垂直于直线l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到AB与PC平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△PCA与△PAB相似，由相似得比例，将PC及直径AB的长代入求出PA的长，在Rt△APB中，由AB及PA的长，利用勾股定理即可求出PB的长。

（2）过O作OE垂直于PD，与PD交于点E，由垂径定理得到E为PD的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到OACE为矩形，根据矩形的对边相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的长表示出PE，根据PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到关于x的二次函数，配方后根据自变量x的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时x的取值。

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