2017高考数学复习：立体几何初步（四）

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，所以PB⊥平面EFD.

例2．如图，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，CE ＝CA ＝2 BD ，M 是EA 的中点，

求证：（1）DE ＝DA ；（2）平面BDM ⊥平面ECA ；

（3）平面DEA ⊥平面ECA。

分析：（1）证明DE ＝DA ，可以通过图形分割，证明△DEF ≌△DBA。（2）证明面面垂直的关键在于寻找平面内一直线垂直于另一平面。由（1）知DM ⊥EA ，取AC 中点N ，连结MN 、NB ，易得四边形MNBD 是矩形。从而证明DM ⊥平面ECA。

 证明：（1）如图，取EC 中点F ，连结DF。

∵  EC ⊥平面ABC ，BD ∥CE ，得DB ⊥平面ABC 。

∴  DB ⊥AB ，EC ⊥BC。

∵  BD ∥CE ，BD ＝CE ＝FC ，

则四边形FCBD 是矩形，DF ⊥EC。

又BA ＝BC ＝DF ，∴  Rt△DEF ≌Rt△ABD ，所以DE ＝DA。

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（2）取AC 中点N ，连结MN 、NB ，

∵  M 是EA 的中点，∴  MNEC。

由BDEC ，且BD ⊥平面ABC ，可得四边形MNBD 是矩形，于是DM ⊥MN。

∵  DE ＝DA ，M 是EA 的中点，∴  DM ⊥EA ．又EAMN ＝M ，

∴  DM ⊥平面ECA ，而DM平面BDM ，则平面ECA ⊥平面BDM。

（3）∵  DM ⊥平面ECA ，DM平面DEA ，

∴  平面DEA ⊥平面ECA。

点评：面面垂直的问题常常转化为线面垂直、线线垂直的问题解决。

例3．如图，直三棱柱ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，

∠ACB ＝90°，AA1 ＝，D 是A1B1 中点．

【例1】求证C1D ⊥平面A1B ；（2）当点F 在BB1 上什么位置时，会使得AB1 ⊥平面C1DF ？并证明你的结论。

分析：（1）由于C1D 所在平面A1B1C1 垂直平面A1B ，只要证明C1D 垂直交线A1B1 ，由直线与平面垂直判定定理可得C1D ⊥平面A1B。（2）由（1）得C1D ⊥AB1 ，只要过D 作AB1 的垂线，它与BB1 的交点即为所求的F 点位置。

证明：（1）如图，∵  ABC—A1B1C1 是直三棱柱，

∴  A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°。又 D 是A1B1 的中点，

∴  C1D ⊥A1B1 .∵  AA1 ⊥平面A1B1C1 ，C1D平面A1B1C1 ，

∴  AA1 ⊥C1D ，∴  C1D ⊥平面AA1B1B。

（2）解：作DE ⊥AB1 交AB1 于E ，延长DE 交BB1 于F ，连结C1F ，则AB1 ⊥平面C1DF ，点F 即为所求。

∵  C1D ⊥平面AA1BB ，AB1平面AA1B1B ，

∴  C1D ⊥AB1 ．又AB1 ⊥DF ，DFC1D ＝D ，∴  AB1 ⊥平面C1DF 。

点评：本题（1）的证明中，证得C1D ⊥A1B1 后，由ABC—A1B1C1 是直三棱柱知平面C1A1B1 ⊥平面AA1B1B ，立得C1D ⊥平面AA1B1B。（2）是开放性探索问题，注意采用逆向思维的方法分析问题。

【反馈演练】

1．下列命题中错误的是              （3）  。

（1）若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线

（2）若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直

（3）若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面

（4）若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直

2．设是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若

，且”为真命题的是   ①③④    （填所有正确条件的代号）

①x为直线，y，z为平面              ②x，y，z为平面

③x，y为直线，z为平面              ④x，y为平面，z为直线

⑤x，y，z为直线

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3．在三棱锥的四个面中，直角三角形最多可以有___4__个。

4．若的中点

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