小学数学应用题典型详解20-鸡兔同笼问题

20  鸡兔同笼问题

 【含义】    这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题。已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二鸡兔同笼问题。

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

 假设全都是鸡，则有 

              兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

 假设全都是兔，则有 

              鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

 第二鸡兔同笼问题：

 假设全都是鸡，则有

              兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

 假设全都是兔，则有

              鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

 【解题思路和方法】  解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔。这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换，使问题得到解决。

 例1    长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少兔子多少鸡？

 解  假设35只全为兔，则 

             鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

             兔数＝35－23＝12（只）

 也可以先假设35只全为鸡，则 

             兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

             鸡数＝35－12＝23（只）

                         答：有鸡23只，有兔12只。

 例2    2亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克，两种菜共16亩，施肥9千克，求白菜有多少亩？

 解  此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题。“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应，“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应。假设16亩全都是菠菜，则有

 白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

                          答：白菜地有10亩。

 例3    李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本，作业本每本 3 .20元，日记本每本0.70元。问作业本和日记本各买了多少本？

 解  此题可以变通为“鸡兔同笼”问题。假设45本全都是日记本，则有

     作业本数＝（69－0.70×45）÷（3.20－0.70）＝15（本）

     日记本数＝45－15＝30（本）

                         答：作业本有15本，日记本有30本。

 例4    （第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？

 解  假设100只全都是鸡，则有

             兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

             鸡数＝100－20＝80（只）

                         答：有鸡80只，有兔20只。

 例5    有100个馍100个和尚吃，大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍，问大小和尚各多少人？

 解  假设全为大和尚，则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个，这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总数100不变的情况下，以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个。因此，共有小和尚   

            （3×100－100）÷（3－1/3）＝75（人）

                共有大和尚      100－75＝25（人）

                        答：共有大和尚25人，有小和尚75人。