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正态分布经典例题讲解

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  例1.正态总体为μ=0, σ=1时的概率密度函数是f(x)=,  x∈(-∞, +∞) ,
  (1)证明f(x)是偶函数;(2)利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。

  证明:(1)任意的x∈R,f(-x)=,
  ∴f(x)是偶函数。

  (2)任取x1<x2<0,则,

  ∴ , ∴ ,即f(x1)<f(x2)。

  这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数,

  同理可证f(x)在(0, +∞)上是递减函数。

  例2.随机变量ξ服从N(0,1),求下列值。
  (1)P(ξ≥2.55)  (2)P(ξ<-1.44)  (3)P(|ξ|<1.52)


  思路分析:标准正态分布,可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有:(-x)=1-(x);
P(a<x<b)=(b)-(a);p(x≥x0)=1-p(x<x0)。

  解:(1)P(ξ≥2.55)=1-p(ξ<2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。  

  (2)P(ξ<-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。

  (3)P(|ξ|<1.52)=p(-1.52<ξ<1.52)=(1.52)-(-1.52)
    =2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。

  例3.设,且总体密度曲线的函数表达式为:f(x), x∈(-∞,+∞)。
  (1)求μ,σ;(2)求p(|x-1|<)及p(1-<x<1+)。

  
思路分析:对照正态曲线函数,可以得出μ,σ;利用一般正态总体N()与标准正态总体N(0,1)概率间的转化关系,可以求出(2)。

  解:(1)整理得:f(x)=,所以,μ=1, σ,故。

  (2)p(|x-1|<)=p(1-<x<1+)=F(1+)-F(1-)
    =()-()=(1)-(-1)=2(1)-1
    =2×0.8413-1=0.6826。

   p(1-<x<1+2)=F(1+2)-F(1-)
  =()-()=(2)-(-1)=(2)+(1)-1
  =0.9772+0.8413-1=0.8185。

  例4.某城市从南郊某地乘车前往北区火车站有两条路可走,第一条线路穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(50,100), 第二条线路沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞少,所需时间(单位:分钟)服从正态分布N(60, 16),
  (1)若只有70分钟时间可用,应走哪条路?
  (2)若只有65分钟时间可用,应走哪条路?

  思路分析:所谓最佳线路(应选择的线路)就是在允许的时间内有较大概率赶到火车站的那条线路。

  解:设x为行车时间。

  (1)走第一条路及时赶到的概率为:
  P(0<x≤70)=≈=(2)=0.9772。

  走第二条线路及时赶到的概率为:
  P(0<x≤70)=()=(2.5)=0.9938。
  因此应走第二条线路。

  (2)走第一条线路及时赶到的概率为:
  P(0<x≤65)≈()=(1.5)=0.9332。

  走第二条线路及时赶到的概率为:
  P(0<x≤65)≈()=(1.25)=0.8944。
  因此应走第一条线路。
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